I. प्रस्तावना

ज्यामितीय वितरण संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में एक महत्वपूर्ण वितरण है, और अक्सर एक विशेष परिणाम होने तक स्वतंत्र प्रयोगों की एक श्रृंखला की संख्या का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है। व्यवहार में, जैसे जुआ खेल, इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों की विफलता अंतराल, आदि, ज्यामितीय वितरण का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह लेख विस्तार से बताएगा कि ज्यामितीय वितरण की संभावनाओं को कैसे खोजा जाए।

दूसरा, ज्यामितीय वितरण की मूल अवधारणा

इससे पहले कि हम समझ सकें कि ज्यामितीय वितरण की संभावना कैसे ज्ञात की जाए, हमें ज्यामितीय वितरण की बुनियादी अवधारणाओं को समझने की आवश्यकता है। ज्यामितीय वितरण पहली सफलता (या विफलता) होने तक स्वतंत्र परीक्षणों की एक श्रृंखला में आवश्यक परीक्षणों की संख्या का वर्णन करता है। यह वितरण इस तथ्य की विशेषता है कि प्रत्येक परीक्षण में सफलता की समान संभावना है, और प्रत्येक परीक्षण स्वतंत्र है।

3. ज्यामितीय वितरण की संभाव्यता गणना

मान लीजिए कि प्रत्येक परीक्षण की सफलता की संभावना पी है, और विफलता की संभावना क्यू = 1-पी है। ज्यामितीय वितरण में, हम r-th प्रयोग की सफलता की संभावना खोजना चाहते हैं। इस संभावना को निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

P(R=r)=q^(r-1)p

जहां R पहली बार सफल परीक्षणों की संख्या है, R परीक्षणों की विशिष्ट संख्या है (पहली बार से गणना की जाती है), q विफलता की संभावना है और r-1 शक्ति R-1 विफलता के बाद r-rd प्रयोग की सफलता की संभावना को इंगित करती है। यह सूत्र ज्यामितीय वितरण की संभावना की गणना करने की कुंजी है।

चौथा, विशिष्ट कदम

ज्यामितीय वितरण की संभावना का पता लगाने के लिए, आप इन चरणों का पालन कर सकते हैं:

1. प्रत्येक परीक्षण के लिए सफलता पी की संभावना और विफलता क्यू की संभावना निर्धारित करें। ये संभावनाएं आपके विशिष्ट प्रश्न और डेटा पर आधारित होनी चाहिए।

2. आप जिन परीक्षणों की तलाश कर रहे हैं उनकी संख्या निर्धारित करें। यह आमतौर पर उस समस्या पर आधारित होता है जिसे आप हल करने का प्रयास कर रहे हैं और आपके द्वारा देखे गए डेटा।

3. r-th परीक्षण की सफलता की संभावना की गणना करने के लिए सूत्र P(R=r)=q^(r-1)p का उपयोग करें। याद रखें, यदि r = 1, तो प्रायिकता p है।

5. केस विश्लेषण

मान लीजिए कि हमारे पास सिर के लिए p = 0.5 और पूंछ के लिए q = 0.5 की संभावना के साथ एक सिक्का टॉस समस्या है। हम जानना चाहते हैं कि पहले हेड-अप (यानी आर = 1) तक निरंतर सिक्का टॉस की संभावना क्या है? इस उदाहरण में, r-th (r = 1) परीक्षण की सफलता की प्रायिकता p=0.5 है। इसका मतलब है कि पहली बार में सफलता मिलने की 50% संभावना है। अगर हम जानना चाहते हैं कि लगातार दो बार हारने और फिर सकारात्मक होने की संभावना क्या है? फिर हमें सूत्र P(R=3)=q^2p=0.5^20.5=0.125 का उपयोग करने की आवश्यकता है, अर्थात यह प्रायिकता 12.5% है। यह ज्यामितीय वितरण संभावना का व्यावहारिक अनुप्रयोग है।

6. सारांश

यह आलेख बताता है कि ज्यामितीय वितरण की संभावनाओं को कैसे खोजा जाए। सबसे पहले, हम ज्यामितीय वितरण की बुनियादी अवधारणाओं और अनुप्रयोग परिदृश्यों की व्याख्या करते हैं। फिर, हम विस्तार से बताते हैं कि सूत्र का उपयोग करके ज्यामितीय वितरण की संभावना की गणना कैसे करें। अंत में, हम दिखाते हैं कि उदाहरणों के साथ इन अवधारणाओं और विधियों को कैसे लागू किया जाए। संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में ज्यामितीय वितरण को समझने और लागू करने के लिए इन अवधारणाओं और विधियों को समझना महत्वपूर्ण है।